洛必达法则
处理 0/0 与 ∞/∞ 型未定式的利器
法则内容
设函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 满足：
- $\lim_{x \to a} f(x) = 0$ 且 $\lim_{x \to a} g(x) = 0$（$0/0$ 型）
- 在 $a$ 的某去心邻域内 $f'(x)$ 和 $g'(x)$ 存在且 $g'(x) \neq 0$
- $\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = L$（有限或无穷）
则：
$$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = L$$
同样适用于：$\infty/\infty$ 型，以及 $x \to \infty$ 的情况。
经典例题
例 1：$0/0$ 型
$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \stackrel{L}{=} \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1$$
例 2：多次使用
$$\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3} \stackrel{L}{=} \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{3x^2} \stackrel{L}{=} \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{6x} = \frac{1}{6}$$
注意事项
前提：必须是 $0/0$ 或 $\infty/\infty$ 才能用，不是未定式不能乱用！
简化：先用等价无穷小替换化简，再洛必达，减少求导次数。
循环：如果一次洛必达后仍是未定式，可继续使用。
简化：先用等价无穷小替换化简，再洛必达，减少求导次数。
循环：如果一次洛必达后仍是未定式，可继续使用。