integral

integral 主要表示“构成完整整体、不可缺少的”，在数学中还表示“积分”以及积分所得的结果或原函数。

💡 记忆钩子

把 integral 记成“把许多部分合成一个完整整体”：普通语境中，某部分是整体不可缺少的一环；数学中，把无数个极小部分累加起来，就得到整体的“积分”，这个结果可以是一个数，也可以是表示原函数的一族函数。

📝 学习建议

先掌握“不可缺少的、整体的一部分”和数学中的“积分”这两条主线，再记“原函数”等更细的数学义项。
不要把 integral 只理解成“完整的”；在数学语境中，它通常对应“积分”，而不是泛指完整。

📖 中文释义

adj

core 不可缺少的；构成整体的

📖 某个部分或因素和其他部分合在一起才构成完整整体，因此不能随意省去。重点不只是“有用”，而是它本身就是整体结构的一部分。

💡 常见搭配是“an integral part/component of something”和“play an integral role in something”。它通常修饰具体的部分、成分或作用，不直接表示一个人“很重要”；中文里的“重要”若没有“不可缺少”的含义，通常不宜机械译成 integral。

Trust is an integral part of a healthy relationship.

信任是健康关系中不可缺少的一部分。

Local communities play an integral role in the project.

当地社区在这个项目中发挥着不可缺少的作用。
common 整数的

📖 在数学中表示与整数有关，或具有整数的性质。

💡 常见结构是“integral value”“integral number”或“integral domain”等数学术语，通常放在相关名词前。这里的 integral 指“整数的”，不要和表示“积分”的名词 integral 混淆。

The equation has no integral solutions.

这个方程没有整数解。
common 积分的；与积分有关的

📖 在数学中表示与积分这一运算或过程有关，例如积分符号、积分方法或积分方程。

💡 常见搭配是“integral calculus”“integral equation”和“integral sign”。这种用法主要出现在数学或科学文本中，通常作定语；它描述“与积分有关”，而不是指某个具体的积分结果。

The course introduces both differential and integral calculus.

这门课介绍微分学和积分学。
rare 整性的

📖 在交换代数中，表示某个元素是环中首一多项式的根；这是“具有整数式完整性”这一核心概念的专业延伸。

💡 常见结构是“integral over A”，表示某元素在代数意义上整于 A。它是交换代数的专门术语，不能按一般英语理解为“完整的”，也不等同于“integer”。
rare 完整无损的

📖 旧用法中表示保持完整、没有损坏；现代英语里基本不再这样使用。

💡 这种用法只会在历史文献或仿古语境中出现，通常作表语或定语。现代写作中不要用它表达“完好无损”，应改用 intact 或 undamaged。

obsolete

more integral comparative most integral superlative

name

rare 国际伽马射线天体物理实验室卫星

📖 这是欧洲航天局一颗卫星名称的缩写，用于观测伽马射线等天文现象。

💡 常见结构是“the INTEGRAL satellite”或“INTEGRAL observations”，专有名词通常全部大写。它只在航天、天体物理或相关新闻中常见，不要把这里的名称当作普通的 integral 来翻译。

abbreviation alt-of

noun

core 积分；积分运算

📖 积分是微积分的基本运算之一：把无数个很小的变化累加起来，用来求面积、位移或其他由连续变化产生的总量。它和 differentiation（微分）相对，核心图像是“把小部分合成整体”。

💡 常见结构是“the integral of a function”以及“integrate a function”，还可说“find/take the integral”。integral 是可数名词时通常指某个具体积分，也可泛指积分这一运算；不要把它误读成只表示“面积”，因为它还可以表示位移等总量。

We used an integral to calculate the area under the curve.

我们用积分计算曲线下的面积。

The integral of the velocity function gives the displacement.

速度函数的积分给出了位移。
common 积分运算

📖 这里特指作为微积分基本运算的积分过程，强调“进行积分”这一动作或方法，而不是某一个已经算出的结果。

💡 常见结构是“integration is the inverse of differentiation”或“use integration to ...”，而在含有 integral 的句子中常接“of + 函数”。它通常出现在教材、讲解和数学证明中；若要强调算出来的数值，应优先根据上下文理解为定积分。

specifically

Integration is often used to recover a quantity from its rate of change.

积分常用于根据某个量的变化率求回这个量。
common 定积分；定积分值

📖 定积分是在指定区间上进行积分后得到的结果，通常是一个数，也可能发散到正无穷或负无穷；它常可理解为带符号的累积量。

💡 常见结构是“the definite integral of f over/from a to b”，也常写成“the integral from a to b”。上下限决定积分区间，不能漏掉或随意调换；调换上下限通常会改变符号。

The definite integral from 0 to 1 is equal to one half.

从 0 到 1 的定积分等于二分之一。
common 不定积分；原函数

📖 不定积分是某个函数的原函数，也就是微分后得到该函数的函数；它通常不是唯一一个函数，而是一族相差常数的函数。

💡 常见结构是“the indefinite integral of f”或“an antiderivative of f”，计算结果后通常要加“+ C”。不要把不定积分当成一个确定的数；没有上下限时，通常应想到原函数和任意常数。

The indefinite integral of x squared is x cubed divided by three plus a constant.

x 的平方的不定积分是 x 的立方除以 3，再加上一个常数。
rare 旧称：不定积分

📖 历史或已废弃的用法中，也可指不定积分或原函数；现代数学英语通常使用同一术语的现行用法。

💡 只需在阅读旧教材或历史数学文献时识别这种用法，现代写作中一般不能据此判断额外的数学区别。遇到没有上下限的 integral，仍应结合上下文判断其是否指原函数。

historical obsolete

integrals plural

📘 英文释义 (WordNet) 共 4 组

constituting the undiminished entirety; lacking nothing essential especially not damaged; - Bacon;

同义词集: integral entire intact

a local motion keepeth bodies integral

was able to keep the collection entire during his lifetime

fought to keep the union intact

近似: whole

existing as an essential constituent or characteristic;

同义词集: built-in constitutional inbuilt inherent integral

the Ptolemaic system with its built-in concept of periodicity

a constitutional inability to tell the truth

近似: intrinsic, intrinsical

of or denoted by an integer

同义词集: integral

the result of a mathematical integration; F(x) is the integral of f(x) if dF/dx = f(x)

同义词集: integral

上位: calculation, computation, figuring, reckoning

🌳 词源

源自中古法语 integral，最终来自拉丁语 integer，含有“完整、整体”的意思。

Borrowed from Middle French integral, from Medieval Latin integrālis, from Latin integer (“entire”); see integer.

🔄 变式

integrals plural more integral compar most integral superl

🏷 单词标签 & 词根