cohen-macaulay

Cohen-Macaulay 是交换代数中的形容词，表示一个环或模在维数与深度等局部性质上达到理想的一致状态。

💡 记忆钩子

把环或模想成一座有维度的建筑，把“深度”想成从外层向内部能稳定探入的层数：Cohen-Macaulay 的核心就是这两把尺子相等。对环来说，直接比较深度和克鲁尔维数；把环看成自身的模时得到同一性质；对一般的模，则从各个极大理想附近观察，要求每个局部视角都保持这种平衡，或在那里什么也没有。

📖 中文释义

adj

core 深度等于克鲁尔维数

📖 在交换代数中，如果一个环的深度正好等于它的克鲁尔维数，就称这个环是 Cohen-Macaulay 的；这里的重点是两种衡量环结构的尺度完全相等。

💡 常用结构是“R 是 Cohen-Macaulay 环”或“R 是 Cohen-Macaulay 的”，也可说“R 满足 Cohen-Macaulay 条件”。它只用于交换代数语境，不能把它当作普通形容词来修饰人的品质或一般对象。注意这里说的是深度与克鲁尔维数相等，而不是环的元素数量相等。

not-comparable

The polynomial ring k[x,y] is Cohen-Macaulay.

多项式环 k[x,y] 是 Cohen-Macaulay 环。

Since the depth equals the Krull dimension, R is Cohen-Macaulay.

由于深度等于克鲁尔维数，R 是 Cohen-Macaulay 的。
common 作为自身的模是 Cohen-Macaulay 的

📖 环也可以看成作用在自身上的模；从这个角度说一个环是 Cohen-Macaulay 的，就是说它作为自身的模满足相应的 Cohen-Macaulay 条件。

💡 常见结构是“R 作为自身的模是 Cohen-Macaulay 的”或“把 R 看成 R-模时，R 是 Cohen-Macaulay 的”。这种说法是在环和模的两种表述之间转换，不是在引入一个不同的普通词义。学习时先掌握环的定义，再把这种模的表述理解为同一性质的另一种视角。

not-comparable

Viewed as a module over itself, R is Cohen-Macaulay.

把 R 看成自身的模时，R 是 Cohen-Macaulay 的。
core 各个局部视角都保持该性质或为空

📖 对一个模 M，如果它支集中的每个极大理想处的局部化，要么仍是 Cohen-Macaulay 的，要么是平凡模，就称 M 具有这种 Cohen-Macaulay 性质。它把“深度与维数平衡”的想法推广到模的各个局部视角。

💡 常见结构是“M 是 Cohen-Macaulay 模”或“对每个相关极大理想，M 的局部化是 Cohen-Macaulay 的”。这里的“局部”指在极大理想处取局部化，不是泛指某个小范围；“平凡”表示该局部化为零。使用时要说明对象是模，并注意条件只检查支集中的极大理想。

not-comparable

The module M is Cohen-Macaulay because its localizations at the relevant maximal ideals are Cohen-Macaulay or zero.

模 M 是 Cohen-Macaulay 模，因为它在相关极大理想处的局部化要么是 Cohen-Macaulay 的，要么为零。

🌳 词源

名称来自伊尔文·科恩和弗朗西斯·索尔比·麦考利；两人证明了某些环类的无混合维数结果，Cohen-Macaulay 环推广了这些结果。

Named for Irvin Cohen and Francis Sowerby Macaulay, who proved unmixedness results for specific classes of rings, which Cohen-Macaulay rings generalize.

🏷 单词标签 & 词根